Question

已知椭圆x2a2+y2b2=1的左右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上一点，且∠PF1F2=30°，∠PF2F1=60°，则椭圆的

已知椭圆x2a2+y2b2=1的左右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上一点，且∠PF1F2=30°，∠PF2F1=60°，则椭圆的离心率e=______．

Answer 1

依题意可知∠F₁PF₂=90°|F₁F₂|=2c，
∴|PF₁|=

3

2

|F₁F₂|=

3

c，|PF₂|=

1

2

|F₁F₂|=c
由椭圆定义可知|PF₁|+|PF₂|=2a=（

3

+1）c
∴e=

c

a

=

3

-1
故答案为

3

-1

Answer 2

若p为椭圆长轴端点，sin<pf1f2=sin<pf2f1=0则离心率e的范围为（0,1）
若p不为椭圆长轴端点，则e=c/a=sin<pf2f1/sin<pf1f2=pf1/pf2<1(正弦定理）,pf1=epf2
又e=2c/2a=2c/(pf1+pf2)=2c/(epf2+pf2)=2c/[(e+1)pf2],整理得pf2=2c/[e(e+1)]
又a<pf2<a+c,即
a<2c/[e(e+1)]<a+c,即1<2e/[e(e+1)]<1+e
即1<2/(e+1)<1+e,
（根号2）-1<e<1
综上若p为椭圆长轴端点，e的范围为（0,1）
若p不为椭圆长轴端点，e的范围为(（根号2）-1,1)