Question

已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为4的正方形，PD⊥平面ABCD，PD=6，E，F分别为PB，AB中点．（1）证明：

已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为4的正方形，PD⊥平面ABCD，PD=6，E，F分别为PB，AB中点．（1）证明：BC⊥平面PDC；（2）求三棱锥P-DEF的体积．

Answer 1

（1）∵PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴PD⊥BC．
又底面ABCD是正方形，故BC⊥CD．
又PD∩DC=D，
∴BC⊥平面PDC．
（2）∵E为PB的中点，∴P，B两点到平面DEF的距离相等．
∴V_{三棱锥P-DEF}=V_{三棱锥B-DEF}=V_{三棱锥E-BDF}．
设BD中点E^′，则据三角形的中位线定理可得EE′＝

1

2

PD=3．
且EE^′∥PD，又PD⊥平面ABCD，
∴EE^′⊥平面ABCD，
又V_{三棱锥E-BDF}=

1

3

×

1

2

×2×4×3=4．
故V_{三棱锥P-DEF}=V_{三棱锥E-BDF}=4．