Question

已知函数f（x）=ln（1+x）-kx（k∈R）（Ⅰ）若f（x）最大值为0，求k的值；（Ⅱ）已知数列{an}满足a1=1，a

已知函数f（x）=ln（1+x）-kx（k∈R）（Ⅰ）若f（x）最大值为0，求k的值；（Ⅱ）已知数列{an}满足a1=1，an+1=ln（1+an）-12an；（i）求证：ni＝1ai＜2；（ii）是否存在n使得an?（0，1]，做不存在，请给予证明．

Answer 1

（Ⅰ）f′（x）=

1

1+x

-k，x∈（-1，+∞）
①当k≤0，无最值，舍去；
②k＞0，f_max（x）=f（

1

k

-1）=0，
解得，k=1．
（Ⅱ）i．证明：由（Ⅰ）知，f（x）=ln（1+x）-x≤0，
即ln（x+1）≤x，
∴ln（1+a_n）≤a_n，
∴a_n+1=ln（1+a_n）-

1

2

an≤a_n-

1

2

an；
∴a_n+1≤

1

2

a_n，
∴a_n≤

1

2

a_n-1≤

1

22

a_n-2≤…≤

1

2n?1

a₁=

1

2n?1

，
∴

n

i＝1

ai＝a1+a2+…+an≤1+

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n?1＝2?21?n＜2
ii．不存在，由（i）an≤(

1

2

)n?1＜1，
下面用数学归纳法证明a_n＞0对任意正整数成立，
①当n=1，a₁=1＞0；②假设当n=k时假设成立，即a_k＞0
令h(x)＝ln(x+1)?

x

2

，
则h′(x)＝

1?x

2(x+1)

，
故h（x）在（-1，1）单调递增，
∵0＜a_k≤1，
∴a_k+1=h（a_k）＞h（0）=0，
∴当n=k+1，a_n＞0，
∴a_n＞0，
∴对任意正整数a_n＞0恒成立即不存在n∈N^*，使a_n?（0，1]．