Question

已知数列满足{an}满足a1=2,an+1=an-{n（n+1）分之一}

1求数列{an}的通向公式
2设bn=n 乘an2的n次方。求数列{bn}的前项和Sn
是an乘（2的n次方）

Answer 1

1）累加法
a1=2
a2-a1=1/(1*2)
a3-a2=1/(2*3)
a4-a3=1/(3*4)
..........
an-a(n-1)=1/[(n-1)n]
相加得
an=2+(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+....+[1/(n-1)-1/n]
=2+(1-1/n)=3-1/n=(3n-1)/n。
2）bn=n*an*2^n=(3n-1)*2^n，（错位相减）
Sn=2*2^1+5*2^2+8*2^3+.....+(3n-1)*2^n
2Sn= 2*2^2+5*2^3+.....+(3n-4)*2^n+(3n-1)*2^(n+1)
相减得
Sn=-4-3(2^2+2^3+...+2^n)+(3n-1)*2^(n+1)
=-4-3*[2^(n+1)-4]+(3n-1)*2^(n+1)
=(3n-4)*2^(n+1)+8。

Answer 2

解：1、a(n+1)=an-1/n(n+1),，a(n+1)-an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
a2-a1=1-1/2,
a3-a2=1/2-1/3
a4-a3=1/3-1/4
………………
an-a(n-1)=1/（n-1）-1/(n),
累加可得，an-a1=1-1/(n), 即an=3-1/n,