Question

如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，C1C⊥底面ABC，AC=BC=CC1=2，AC⊥BC，点D是AB的中点．（Ⅰ）求证：AC1∥平

如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，C1C⊥底面ABC，AC=BC=CC1=2，AC⊥BC，点D是AB的中点．（Ⅰ）求证：AC1∥平面CDB1；（Ⅱ）求四面体B1C1CD的体积．

Answer 1

解答：（Ⅰ）证明：连结BC₁，设BC₁与B₁C的交点为E，连结DE．
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁，CC₁⊥底面ABC，
CC₁=BC=2，
∴四边形BCC₁B₁为正方形．
∴E为BC₁中点．
∵D是AB的中点，
∴DE∥AC₁．
∵DE?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁．                                                    （4分）
（Ⅱ）解：在平面ABC内作DF⊥BC于点F，
∵CC₁⊥平面ACB
DF?平面ACB，
∴CC₁⊥DF．
∵BC∩CC₁=C
∴DF⊥平面BCC₁B₁．
∴DF是三棱锥D-CC₁B₁的高，
∵AC=BC=CC₁=2
∴S△B1C1C＝2DF=1．
∴四面体B₁C₁CD的体积为VD?B1C1C＝

1

3

S△B1C1C?h＝

2

3

．                     （9分）