Question

关于倒数，微分，积分的几何还有代数意义

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Answer 1

一般地，人们会谈论一个符号或一个概念，问它有什么几何意义。但是，永远不会问它有什么代数意义。试问楼主，你所说的“代数意义”指的是什么？把“代数意义”当成一个“能指”，做这件事情本身就是没有意义的（因为你无法找到这个概念的“能指”所对应的“所指”）。至于前一个问题我来回答一下：我想你应该是打错字了，是“导数”而不是“倒数”。
一元函数f的在定义域中一个元素x_1之处的导数的几何意义就是函数f所对应的图像Graph（f）(它是一条曲线)在点（x_1，f(x_1)）∈Graph（f）处的切线的斜率。微分是一个无穷小量而不是数，一般情况下，它是没有几何意义的-----除非把它推广为“函数的外微分形式”（exterior differential forms of a function）；推广后的外微分是从定义域的切向量丛到实数集的切向量丛的一个逐纤维地（fiberwisely）为线性同态的映射。不过你可以把普通的微分理解为一个无穷序列，序列的每一个坐标是一个有向线段。比如dx可以理解为在点x处（先把这个x固定）向右发出的一组有向线段，每个有向线段的起点为点x，终点是变化的，但这个变化是“有方向的”，也就是说作为有向线段的第二个坐标的“模长”要比第一个坐标的“模长”要小一半，第三个的模长又比第二个的小了一半，以此类推。这个无限序列的极限是一个零向量（也就是x自己指向自己的这个向量）。要注意这些有向线段可以被看成是向量，但它们都不是“自由向量”（高中教材：自由向量指的是起点可以被任意移动（平移）的向量），因为它们的起点都被固定死了，就是x.
至于在闭区间【a，b】上对一个函数求定积分，它的几何意义如下：当函数图象在坐标轴x轴上方时，定积分作为一个实数，就等于曲线自己、x轴、直线x=a，x=b围成的曲边（因为顶边是弯曲的）图形的面积。如果函数图象在x轴下方，定积分的值就等于曲边图形的面积的相反数。如果函数图象一部分在x轴上方，一部分在下方，则用全部都在x轴上方的图形的总面积减去在下方的所有图形的总面积，这个数值就是定积分的值。
而f的不定积分呢，对于初学者来说，稍微有点难以理解，是求得一个函数g（如果存在的话），使得下面的条件被满足：g的图象在（x_0，g（x_0））处的切线斜率k_0作为一个实数，恰好等于函数f在x_0处的函数值。仅仅在一个x_0处满足这个条件还不够，x_0必须取遍定义域里所有的元素才行。如果在每一个元素之处都满足“斜率条件”的话，那么我们就是g是f的一个原函数。显然，f的原函数是不唯一的。找到了f的某个原函数后，给这个原函数加上任意一个常函数，这个和函数也是f的原函数。

Answer 2

简单解释为，导数就是函数曲线上任意点处得切线斜率，微分就是求出这些斜率与点的对应关系，而积分就是一个反运算，即了解了对应关系后求出原来的函数。
希望对你有所帮助。

Answer 3

这些应该不难吧，书上都有的。