Question

用夹逼准则和重要极限两种方法计算极限lim(2^n+3^n+4^n+5^n+6^n)^(1/n)n趋近于...

用夹逼准则和重要极限两种方法计算极限lim(2^n+3^n+4^n+5^n+6^n)^(1/n)n趋近于无穷

Answer 1

用夹逼定理：
(6^n)^(1/n) ≤ (2^n+3^n+4^n+5^n+6^n)^(1/n) ≤ [ 5倍的(6^n) ]^(1/n)
三边同时取极限，第一项(无论是否取极限)永远恒等于6，中间就是要求的极限，
右边不取极限时，等于 6×[5^(1/n)] ，取极限后，也是6.（原因是，任何一个大于0的常数，开n次方， n → +∞ 时，都等于1）
所以原极限＝6.

用重要极限：
设 y＝(2^n+3^n+4^n+5^n+6^n)^(1/n) ，
两边取对数，得 lny ＝ [ln (2^n+3^n+4^n+5^n+6^n) ] / n
用 x 替换 上面表达式的 n ，则 n → +∞ 就等价于 x→ +∞
于是 lny ＝ [ln (2^x+3^x+4^x+5^x+6^x) ] / x ，右边是无穷大 除以无穷大，
用一次洛比达法则，分子分母同时求导(极限符号我就不带了，这上面不好打出来)，得
lny ＝ (2^x ·ln2) + (3^x·ln3) + (4^x·ln4) + (5^x·ln5) + (6^x·ln6) ] / (2^x+3^x+4^x+5^x+6^x)
对右边的分式，上下同除以 6^x ，再取极限，
则右边的分子就是(0 ·ln2) + (0·ln3) + (0·ln4) + (0·ln5) + (1·ln6) ＝ln6
右边的分母就是 (0+0+0+0+1)
所以，右边的结果就是 ln6，而左边一直是 lny，所以 lny＝ln6，所以原极限等于6

Answer 2

用夹逼准则可证
左边 (2^n+3^n+4^n+5^n+6^n)^(1/n)大于等于（6^n)^(1/n)
其中 （6^n)^(1/n) =6 所以n趋于无穷大时 （6^n)^(1/n)的极限为6
右边 (2^n+3^n+4^n+5^n+6^n)^(1/n)小于等于（6*6^n）^(1/n)
其中 （6*6^n）^(1/n)=6*6^（1/n)，当n趋于无穷大时 6*6^（1/n)的极限为6
由夹逼准则可知原式极限为6

Answer 3

1) 6 < (2^n+3^n+4^n+5^n+6^n)^(1/n) < (5*6^n)^(1/n) = 6* 5^(1/n) ->6
所以(2^n+3^n+4^n+5^n+6^n)^(1/n) ->6
2) (2^n+3^n+4^n+5^n+6^n)^(1/n) = 6[1+ (2^n+3^n+4^n+5^n)/6^n]^(1/n)
=6[1+ (2^n+3^n+4^n+5^n)/6^n]^6^n/(2^n+3^n+4^n+5^n)*(2^n+3^n+4^n+5^n)/6^n*(1/n)
而[1+ (2^n+3^n+4^n+5^n)/6^n]^6^n/(2^n+3^n+4^n+5^n) -> e,
(2^n+3^n+4^n+5^n)/6^n*(1/n)->0,
所以6[1+ (2^n+3^n+4^n+5^n)/6^n]^6^n/(2^n+3^n+4^n+5^n)*(2^n+3^n+4^n+5^n)/6^n*(1/n)
->6*e^0 = 6