f(x)=nx(1-x)^n在n为正整数,在[0,1]最大值M求lim n∞M(如图较清楚)

烦请详细做答e^-1... 烦请详细做答 e^-1 展开
jdc9217
2014-11-14
jdc9217
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高中数学教师,一直在教务处负责中高考事务,熟悉中、高考有关问题。

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f'(x)=n(1-x)^n-xn^2(1-x)^(n-1)=[n(1-x)^(n-1)]×[1-(n+1)x]
所以f(x)的驻点有两个,分别是x=1和x=1/(n+1),且x=1/(n+1)是极大值点
又因为是闭区间[0,1],所以x=1/(n+1)也是最大值点
所以M(n)=f[1/(n+1)]=[n/(n+1)]^(n+1)
所以当n→∞时:
limM(n)=lim[n/(n+1)]^(n+1)
=lim[1-1/(n+1)]^{-[-(n+1)]}=e^(-1)
=1/e
所以极限为1/e
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