Question

设G是一个群,a,b,c属于G,证明xaxba=xbc在G中有且只有一个解

Answer 1

首先，该解存在，至少a的逆*b*c*a的逆*b的逆就是一个解，把它带入，两边是相等的。
其次，假设还有其他的解存在，设其中一个其他解为d，即dadba=dbc,而且d不等于上边得到的解。注意到d属于群，所以d的逆是存在的，再由dadba=dbc两边左乘d的逆得到adba=bc,两边左乘a的逆，右乘a的逆，右乘b的逆，得到d=a的逆*b*c*a的逆*b,矛盾！所以仅有一个。