Question

lim(x->0)[ 根号下（1+x+x^2) -1] 的等价无穷小为什么是x/2 ？

Answer 1

若 lim(x->0) [√(1+x+x^2) -1] / (x/2) = 1， 则当x->0时,√(1+x+x^2) -1 与 (x/2) 是等价无穷小。
lim(x->0) [√(1+x+x^2) -1] / (x/2) 分子分母同时乘以 √(1+x+x^2) + 1
= lim(x->0) (x+x^2) / { (x/2) * [√(1+x+x^2) + 1] }
= lim(x->0) 2(1+x) / [√(1+x+x^2) + 1]
= 1
即证

Answer 2

lim(x->0)[ √（1+x+x^2) -1] /(x/2)(这是0/0型，运用洛必达法则得
=lim(x->0)[(1+2x)/√（1+x+x^2)
=1
所以[√（1+x+x^2) -1] ~x/2(x→0）

追问

先谢下~ 但我刚学习工数，还不会那个法则。。 书上说那个式子~（x+x^2)/2~x/2 我就蒙了。。

追答

那就没办法了呀，这个等价无穷小代换就是从那个地方来的，要不你分子有理化吧
lim(x->0)[ √（1+x+x^2) -1] /(x/2)(分子有理化）
=lim(x->0) [√（1+x+x^2) -1][√（1+x+x^2) +1]/{[√（1+x+x^2) +1]*x/2)}
=lim(x->0)(x+x^2)/{[√（1+x+x^2) +1]*x/2)}
=lim(x->0)2(1+x)/[√（1+x+x^2) +1](看出来了吧，把x=0代入）
=1

追问

懂了，那如果他要求等价的结果也就是说一开始不知道是x/2的话，应该怎么求呢？ 谢谢啊！

追答

这个问题问的好。这个要等你学了泰勒级数展开式后，就知道了。

追问

恩 谢谢~ 我加了悬赏分