Question

已知函数f(x)=1/x+alnx(a不等于0，a为实数）,若在区间[1,e]上至少存在一点Xo,使f(Xo)<0成立,求a取值范围

高三的数学题。谢谢。

Answer 1

若a>0，f(x)最大值f(e)=1/x+a<0,又因为x∈[1,e]，故a∈[-1,-1/e]；若a<0，派戚f(x)最大值f(1)=1/x<0，又因为x∈[1,e]，所以此不等式不成立。孙瞎综上说述则羡空a∈[-1,-1/e]。

Answer 2

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令f'（x）=0，得到x=1/a ，
若在区间[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）＜0成立，
其充要条件是f（x）在区间[1，e]上的最小值小于0即可．
（1）当x=1 a ＜0，
即a＜0时，f'（x）＜0对x∈（0，+∞）成立，
所以，f（x）在区间[1，e]上单调递减，
故f（x）在区间[1，e]上的最小值为f(e)=1/e +alne=1/e +a，
由1/e +a＜0，得a＜-1 e ，即a∈(-∞，-1/e )
（2）当x=1/a ＞0，即a＞0时，
①若e≤1/a ，则f'脊散（x）≤0对x∈[1，颤野陆e]成立，
所以f（x）在区间[1，e]上单调递减，
所以，f（x）在区间[1，e]上的最小值为f(e)=1 e +alne=1 e +a＞0，
显然，f（x）在区间[1，e]上的最小值小于0不成立
②若1＜1 a ＜e，即a＞1 e 时，则有
x (1，1/a ) 1/a (1 a ，e)f'（x） - 0 +
f（x） ↘ 极小值 ↗
所以f（x）在区间[1，e]上的最小值为f(1 a )=a+aln1 a ，
由f(1/a )=a+aln1 a =a(1-lna)＜0，
得1-lna＜0，解得a＞e，即a∈（e，+∞）茄顷．
综上，由（1）（2）可知：a∈(-∞，-1 e )∪(e，+∞)符合题意

Answer 3

a小于-1/e