Question

如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为A（-2，0），B（8，0），以AB为直径的半圆P与y轴交于点M

如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为A（-2，0），B（8，0），以AB为直径的半圆P与y轴交于点M，以AB为一边作正方形ABCD。 （1）求C，M两点的坐标；（2）试判断直线CM与半圆P的位置关系，并证明你的结论。（3）在x轴上是否存在一点Q，使得△QMC的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）联结PM，因A、B、M均在半圆P上，且AB=10， ∴PM=PA=PB=5， ∴OP=OB-PB=3， 在Rt△POM中，由勾股定理得：OM= ， M的坐标为（0，4）， ∵正方形ABCD， ∴矩形OBCE，AB=CB=10， ∴CE=OB=8， ∴C的坐标为（8，10）； （2）直线CM是半圆P的切线； 联结CM，CP， 由（1）可知，BM=OB-OM=10-4=6， 在Rt△CEM中，CM= ， ∵BC=10， ∴BC=CM， ∵BP=PM，CP=CP， ∴△CMP≌△CBP， ∴∠CMP=∠CBP=90°， ∴直线CM是半圆P的切线； （3）存在； 作M关于x轴的对称点M 1 （0，-4）， 联结M 1 C，与x轴交于点Q，Q为所求， 可求得M 1 C的解析式为： ， 当y=0时，x= ， ∴点Q的坐标为（ ，0）。