Question

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=60°，AD=CD=CB=a，平面ACFE⊥平面ABCD，四边形ACFE是矩形，AE=a．（

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=60°，AD=CD=CB=a，平面ACFE⊥平面ABCD，四边形ACFE是矩形，AE=a．（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACFE；（Ⅱ）求二面角B-EF-D的余弦值．

Answer 1

解：（Ⅰ）在梯形ABCD中，AB∥CD，
∵∠ABC=60°，AD=CD=CB=a，
∴四边形ABCD是等腰梯形，…（2分）
且∠DCA=∠DAC=30°，∠DCB=120°，
∴∠ACB=∠DCB-∠DCA=90°，
∴AC⊥BC．…（4分）
又∵平面ACFE⊥平面ABCD，交线为AC，
∴BC⊥平面ACFE．…（6分）
（Ⅱ）取EF中点G，EB中点H，连结DG、GH、DH，
∵AD=CD=CB=a，平面ACFE⊥平面ABCD，四边形ACFE是矩形，AE=a．
∴DE=DF，∴DG⊥EF，…（8分）
∵BC⊥平面ACFE，∴BC⊥EF，
又∵EF⊥FC，∴EF⊥FB，
又∵GH∥BF，∴EF⊥GH，
∴∠DGH是二面角B-EF-D的平面角．…（10分）
在△BDE中，DE=

2

a，DB=

3

a，BE=

AE2+AB2

=

5

a，
∴BE²=DE²+DB²，∴∠EDB=90°，
∴DH=

5

2

a，又DG=

5

2

a，GH=

2

2

a，…（12