Question

已知函数y=a1-x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线xm+yn＝1（m＞0，n＞0）上，则m+n的最小值为_

已知函数y=a1-x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线xm+yn＝1（m＞0，n＞0）上，则m+n的最小值为______．

Answer 1

∵函数y=a^1-x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A（1，1），点A在直线

x

m

+

y

n

＝1（m＞0，n＞0）上，
∴

1

m

+

1

n

＝1，∴m+n=（ m+n）（

1

m

+

1

n

）=2+

n

m

+

m

n

．
∵m＞0，n＞0，由基本不等式可得

n

m

+

m

n

≥2，当且仅当

n

m

＝

m

n

时，等号成立．
再由

1

m

+

1

n

＝1可得，当且仅当 m=n=2时，等号成立．
故 m+n=2+

n

m

+

m

n

≥4，当且仅当 m=n=2时，等号成立．
故m+n的最小值为4，
故答案为 4．