Question

设函数f（x）=x-xlnx．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若方程f（x）=t在[1e，e]上有两个实数解，求实数

设函数f（x）=x-xlnx．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若方程f（x）=t在[1e，e]上有两个实数解，求实数t的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）f′（x）=1-（lnx+1）=-lnx，
令f′（x）＞0，得0＜x＜1，令f′（x）＜0，得x＞1，
∴f（x）的增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：当x=1时，f（x）取得极大值为1，
f（

1

e

）=

2

e

，f（e）=0，
由函数f（x）=x-xlnx与f（x）=t的图象知
实数t的取值范围为[

2

e

，1）．