Question

已知函数f(x)＝ex?x22?ax?1，（其中a∈R，e为自然对数的底数（1）当a=0时，求曲线y=f（x）在（0，f（0）

已知函数f(x)＝ex?x22?ax?1，（其中a∈R，e为自然对数的底数（1）当a=0时，求曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线方程；（2）当x≥1时，若关于x的不等式f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）当a=0时f(x)＝ex?

x2

2

?1，∴f'（x）=e^x-x，∴f（0）=0，f'（0）=1，∴切线方程为y=x．（4分）
（2）∵x≥1，∴f(x)＝ex?

x2

2

?ax?1≥0?a≤

ex? x2 2 ?1

x

，（5分）
设g(x)＝

ex? x2 2 ?1

x

，则g′(x)＝

(x?1)ex? x2 2 +1

x2

，（7分）
设?(x)＝(x?1)ex?

x2

2

+1，则?'（x）=x（e^x-1）＞0，（9分）
∴?（x）在[1，+∞）上为增函数，∴?（x）≥?(1)＝

1

2

＞0，∴g′(x)＝

(x?1)ex? x2 2 +1

x2

＞0，
∴g(x)＝

ex? x2 2 ?1

x

在[1，+∞）上为增函数，∴g（x）≥g(1)＝e?

3

2

，∴a≤e?

3

2

．（12分）