Question

（2014?大兴区模拟）如图所示，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，MN为其左边界．磁场中放置一

（2014?大兴区模拟）如图所示，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，MN为其左边界．磁场中放置一半径为R的圆柱形金属圆筒，圆心O到MN的距离OO1=2R，金属圆筒轴线与磁场平行．金属圆筒用导线通过一个电阻r0接地，最初金属圆筒不带电．现有一电子枪对准金属圆桶中心O射出电子束，电子束从静止开始经过加速电场后垂直于左边界MN向右射入磁场区，已知电子质量为m，电量为e．电子重力忽略不计．求：（1）最初金属圆筒不带电时，则a．当加速电压为U时，电子进入磁场时的速度大小；b．加速电压满足什么条件时，电子能够打到圆筒上；（2）若电子束以初速度v0进入磁场，电子都能打到金属圆筒上（不会引起金属圆筒内原子能级跃迁），则当金属圆筒上电量达到相对稳定时，测量得到通过电阻r0的电流恒为I，忽略运动电子间的相互作用和金属筒的电阻，求此时金属圆筒的电势φ和金属圆筒的发热功率P．（取大地电势为零）

Answer 1

解答：解：（1）a．设电子经过电场加速后的速度为v₁，由动能定理，有：
eU＝

1

2

m

v

2 1

解得：
v1＝

2eU m

b．令电子恰好打在圆筒上时，加速电压为U₀，设电子进入磁场时速度为v₂，轨道半径为r，做出电子的轨迹如图所示，O₂为轨道的圆心．
由几何关系得：
r²+（2R）²=（r+R）²
解得：
r＝

3R

2

磁偏转过程，根据牛顿第二定律，有：
ev 2B＝m

v 2 2

r

直线加速过程，根据动能定理，有：
eU0＝

1

2

m

v

2 2

解得：
U0＝

9eB2R2

8m

所以当U≥

9eB2R2

8m

时，电子能够打到圆筒上． 
（2）当圆筒上的电量达到相对稳定时，圆筒上的电荷不再增加，此时通过r₀的电流方向向上．
根据欧姆定律，圆筒跟地面间的电压大小为：
U₁=Ir₀
由0-φ=U₁可得：
φ=-Ir₀
单位时间内到达圆筒的电子数：
n＝

I

e

故单位时间内到达圆筒上的电子的总能量：
E＝n×

1

2

m

v

2 0

＝

mI v 2 0

2e

单位时间内电阻消耗的能量：
Er＝I2r0
所以圆筒的发热功率：
P=E-E_r=

mI v 2 0

2e

-I²r₀
答：（1）a．当加速电压为U时，电子进入磁场时的速度大小为

2eU m

；b．加速电压满足U≥

9eB2R2

8m

条件时，电子能够打到圆筒上；
（2）此时金属圆筒的电势φ为=Ir₀，金属圆筒的发热功率P为

mI v 2 0

2e

-I²r₀．