已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x.(1)求x>0时,函数f(x)的解析式;(
已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x.(1)求x>0时,函数f(x)的解析式;(2)讨论函数g(x)=f(x)-a的零点个数;(3)若...
已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x.(1)求x>0时,函数f(x)的解析式;(2)讨论函数g(x)=f(x)-a的零点个数;(3)若函数g(x)=f(x)-2ax+2,当x∈[1,2],记函数g(x)的最大值与最小值之差为M(a),求M(a).
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(1)设x>0,则-x<0,
∴f(-x)=x2-2x,
∵函数f(x)是定义在R上的偶函数,
∴x>0时,f(x)=x2-2x;
(2)由(1)得:f(x)=
,
画出函数f(x)的图象,如图示:闹禅
,
∴当a<-1时,g(x)无零点,
当a=-1时,g(x)有2个零点,
当-1<a<0时,g(x)有4个零点,
当a=0时,g(x)有3个零点,
当a>0时,g(x)有2个零点;
(3)当x∈[1,2],f(x)=x2-2x,
∴g(x)=f(x)-2ax+2=x2-2(a+1)x+2,
对称轴x=a+1,g(1)=-2a+1,g(液梁尘2)=-4a+2,
①a+1≤1,即a≤0时,g(x)在[1,2]递增,
∴g(2)最大,g(1)最小,
∴M(a)=g(2)-g(1)=-2a+1,
②1<a+1<
,即0<a<
时,g(x)在[1,a+1)递减,在(a+1,2]递增,
∴g(2)最大,g(a+1)最小,
∴M(a)=g(2)-g(a+1)=a2-2a+1,
③
≤a+1<2,即
≤a<1时,g(x)在[1,a+1)递减,在(a+1,2]递增,
∴g(1)最大,g(a+1)最小,
∴M(a)=g(1)-g(a+1)=a2,
④a+1≥2,即a≥1时,g(x)在[1,2]递减,
∴g(1)最大,g(2)最小,
∴M(a)=g(1)-g(2)=-a2-2a+1,
综上:M(a)=
.
∴f(-x)=x2-2x,
∵函数f(x)是定义在R上的偶函数,
∴x>0时,f(x)=x2-2x;
(2)由(1)得:f(x)=
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画出函数f(x)的图象,如图示:闹禅
,
∴当a<-1时,g(x)无零点,
当a=-1时,g(x)有2个零点,
当-1<a<0时,g(x)有4个零点,
当a=0时,g(x)有3个零点,
当a>0时,g(x)有2个零点;
(3)当x∈[1,2],f(x)=x2-2x,
∴g(x)=f(x)-2ax+2=x2-2(a+1)x+2,
对称轴x=a+1,g(1)=-2a+1,g(液梁尘2)=-4a+2,
①a+1≤1,即a≤0时,g(x)在[1,2]递增,
∴g(2)最大,g(1)最小,
∴M(a)=g(2)-g(1)=-2a+1,
②1<a+1<
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∴g(2)最大,g(a+1)最小,
∴M(a)=g(2)-g(a+1)=a2-2a+1,
③
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∴g(1)最大,g(a+1)最小,
∴M(a)=g(1)-g(a+1)=a2,
④a+1≥2,即a≥1时,g(x)在[1,2]递减,
∴g(1)最大,g(2)最小,
∴M(a)=g(1)-g(2)=-a2-2a+1,
综上:M(a)=
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