Question

如图所示，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB=4，点E在CC1上且C1E=3EC（1）求异面直线BE、AB1所成的角的

如图所示，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB=4，点E在CC1上且C1E=3EC（1）求异面直线BE、AB1所成的角的大小；（2）求A1到截面BDE的距离；（3）求二面角A1-DE-B的大小．

Answer 1

以DA，DC，DD₁分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系D-xyz．
则D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，2，1），A₁（2，0，4），A（2，0，0），B₁（2，2，4），

DE

＝(0，2，1)，

DB

＝(2，2，0)，

A1C

＝(?2，2，?4)，

DA1

＝(2，0，4)
（1）

BE

＝(?2，0，1)，

AB1

＝(0，2，4)
设异面直线BE、AB₁所成的角的大小为α，则cosα＝

4

5 ×2 5

＝

2

5

，
∴α＝arccos

2

5

（2）证明：∵

A1C

?

DB

＝?4+4+0＝0，

A1C

?

DE

＝0+4?4＝0，
∴A₁C⊥BD，A₁C⊥DE
又DB∩DE=D，∴A₁C⊥平面DBE
设C到截面BDE的距离为h，则有
∵V_C-BDE=V_E-BCD，∴h＝

6

6

∵A1C＝2

6

∴A₁到截面BDE的距离为

11 6

6

；
（3）由（2）知向量

A1C

为平面DBE的一个法向量
设平面DA₁E的法向量n=（x，y，z）
由 n⊥

DE

，n⊥

DA1

得2y+z=0，2x+4z=0
令z=-2，得x=4，y=1，
∴n=（4，1，-2）
又二面角A₁-DE-B为锐角
∴二面角A₁-DE-B的余弦值为

14

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