(2013?宜昌模拟)如图,将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠,AB与CD交于点E.(1)若AB=8,AD=4,求AE的长;

(2013?宜昌模拟)如图,将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠,AB与CD交于点E.(1)若AB=8,AD=4,求AE的长;(2)点P为线段AC上的任意一点,PM⊥AB于... (2013?宜昌模拟)如图,将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠,AB与CD交于点E.(1)若AB=8,AD=4,求AE的长;(2)点P为线段AC上的任意一点,PM⊥AB于M,PN⊥CD于N,若PM+PN=4,DE=3,求△AEC的面积. 展开
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随风之灵m72
2015-02-02 · 超过53用户采纳过TA的回答
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(1)补全矩形ABCD如图所示,
由翻折的性质得,∠BAC=∠B′AC,
∵矩形ABCD的边AB′∥CD,
∴∠B′AC=∠ACD,
∴∠ACD=∠BAC,
∴AE=CE,
设AE=CE=x,
则DE=CD-CE=AB-CE=8-x,
在Rt△ADE中,AD2+DE2=AE2
即42+(8-x)2=x2
解得x=5,
∴AE=5;

(2)过点P作PM′⊥AB′于M′,
∵∠BAC=∠B′AC,PM⊥AB,
∴PM=PM′,
∵PN⊥CD,
∴∠ACD+∠CPN=90°,
又∵∠B′AC+∠APM′=90°,
∴∠APM′=∠CPN,
∴M′、P、N三点共线,
∵PM+PN=4,
∴PM+PN=PM′+PN=AD=4,
在Rt△ADE中,AE=
AD2+DE2
=
42+32
=5,
∴CE=AE=5,
∴△AEC的面积=
1
2
CE?AD=
1
2
×5×4=10.
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