Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（-2，0），点B在x轴的正半轴上， 点M在y轴的负半轴上，且|AB|=6

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（-2，0），点B在x轴的正半轴上， 点M在y轴的负半轴上，且|AB|=6，cos∠OBM= 5 5 ，点C是M关于x轴的对称点．（1）求过A、B、C三点的抛物线的函数表达式及其顶点D的坐标；（2）设直线CD交x轴于点E，在线段OB的垂直平分线上求一点P，使点P到直线CD的距离等于点P到原点的O距离；（3）在直线CD上方（1）中的抛物线（不包括C、D）上是否存在点N，使四边形NCOD的面积最大？若存在，求出点N的坐标及该四边形面积的最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）易知A（-2，0），B（4，0），C（0，8）． 设抛物线的函数表达式为y=a（x+2）（x-4）． 将C（0，8）代入，得a=-1． ∴过A、B、C三点的抛物线的函数表达式为：y=-x 2 +2x+8． y=-x 2 +2x+8=-（x-1） 2 +9， ∴顶点为D（1，9）． （2）如图1，假设存在满足条件的点P，依题意，设P（2，t）． 由C（0，8），D（1，9）得直线CD的函数表达式为：y=x+8． 设直线CD交x轴于点E，则E（-8，0）． ∴CO=8=OE，∴∠DEO=45°． 设OB的中垂线交CD于H，交x轴于点G． ∴在Rt△HPF中，∠FHP=45°=∠HPF． 点P到CD的距离PF= 2 2 |10-t|． 又PO= t 2 + 2 2 = t 2 +4 ． ∵PF=PO， ∴ t 2 +4 = 2 2 |10-t|． 化简，得t 2 +20t-92=0， 解得t=-10± 8 3 ． ∴存在点P 1 （2，-10+ 8 3 ），P 2 （2，-10- 8 3 ）满足条件． （3）如图2，过点N作直线NQ ∥ x轴交CD于点Q．设N（k，-k 2 +2k+8）． ∵直线CD的函数表达式为y=x+8， ∴Q（-k 2 +2k，-k 2 +2k+8）． ∴QN=|-k 2 +2k-k|=-k 2 +k． S △CND =S △NQD +S △NQC = 1 2 NQ?|y D -y Q |+ 1 2 NQ?|y Q -y C | = 1 2 （-k 2 +k）?|9-（-k 2 +2k+8）|+ 1 2 （-k 2 +k）?|-k 2 +2k+8-8| = 1 2 （-k 2 +k）（9+k 2 -2k-8-k 2 +2k） = 1 2 （-k 2 +k）． 而S 四边形NCOD =S △CND +S △COD = 1 2 （-k 2 +k）+ 1 2 CO?|x D | = 1 2 （-k 2 +k）+ 1 2 × 8×1 =- 1 2 k 2 + 1 2 k+4 =- 1 2 （k- 1 2 ） 2 + 33 8 ． ∴当k= 1 2 时，四边形面积的最大为 33 8 ， 此时N（k，-k 2 +2k+8）点坐标为：（ 1 2 ， 35 4 ）．