Question

如图，等腰直角△ ABC 中， AC ＝ BC ，∠ ACB ＝90°， AF 为△ ABC 的角平分线，分别过点 C 、 B 作 AF

如图，等腰直角△ ABC 中， AC ＝ BC ，∠ ACB ＝90°， AF 为△ ABC 的角平分线，分别过点 C 、 B 作 AF 的垂线，垂足分别为 E 、 D ．以下结论：① CE ＝ DE ＝ BD ；② AF ＝2 BD ；③ CE ＋ EF ＝ AE ；④＝．其中结论正确的序号是 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④

Answer 1

B

考点： 专题：综合题． 分析：延长线段BD与AC的延长线交于点M，然后由两个角相等得出三角形ACE与三角形ABD相似，且相似比等于1比  ，得出三角形ACF与三角形BMC全等，即可得出CE与DE相等且等于  BD，AF等于2BD，然后由三角形CEF与三角形BDF相似，且相似比也等于1比  ，如果EF=1，则DF=  ，设AE=x，则AD= x，利用AE+EF+0D等于AD列出关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，然后表示出AF，求出AF与FD的比值即可． 解：延长线段BD与AC的延长线交于点M ∵AD为∠CAB的平分线，AD⊥MB， ∴AM=AB， ∵∠ACB=90°， ∴∠CAB=45°， ∵AF为△ABC的角平分线， ∴∠AFC=90°-∠CAD=90°-22.5°=67.5°， ∴∠M=∠AFC=67.5°， 又∵∠ACF=∠BCM=90°，AC=AB， ∴△ACF≌△BCM， ∴AF=BM=2BD，故②正确； 又∵AD为∠CAB的平分线， ∴∠CAD=∠BAD，且∠AEC=∠ADB=90°， ∴△ACE∽△ABD， ∴ = = = ， ∴CE=DE= BD，故①正确； 又∵△CEF∽△BDF， ∴ = ，设AE=x，则AD= x， ∴x+1+ = x，解得x= ∴ = ，故④正确． 故选B． 点评：此题考查学生灵活运用相似三角形的性质与判断解决数学问题，是一道综合题．