Question

如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6米，BC=8米，动点P以2米/秒的速度从A点出发，沿AC向点C移动．同时，动点

如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6米，BC=8米，动点P以2米/秒的速度从A点出发，沿AC向点C移动．同时，动点Q以1米/秒的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒．（1）①当t=2.5秒时，求△CPQ的面积；②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；（2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，写出t的值；（3）以P为圆心，PA为半径的圆与以Q为圆心，QC为半径的圆相切时，求出t的值．

Answer 1

解：在Rt△ABC中，AB=6米，BC=8米，∴AC=10米
由题意得：AP=2t，则CQ=t，则PC=10-2t
（1）①过点P，作PD⊥BC于D，
∵t=2.5秒时，AP=2×2.5=5米，QC=2.5米
∴PD=

1

2

AB=3米，∴S=

1

2

?QC?PD=3.75平方米；
②过点Q，作QE⊥PC于点E，
易知Rt△QEC∽Rt△ABC，
∴

QE

QC

=

AB

AC

，
解得：QE=

3t

5

，
∴S=

1

2

?PC?QE=

1

2

?（10-2t）?

3t

5

=-

3

5

t2+3t（0＜t＜5）

（2）当t=

10

3

秒（此时PC=QC），

25

9

秒（此时PQ=QC），或

80

21

秒（此时PC=PQ）时，△CPQ为等腰三角形；
∵△ABC中，∠B=90°，AB=6米，BC=8米，
∴AC=

AB2+BC2

=

62+82

=10，
当PC=QC时，PC=10-2t，QC=t，即10-2t=t，解得t=

10

3

秒；
当PQ=CQ时，如图1，过点Q作QE⊥AC，则CE=

10?2t

2

，CQ=t，可证△CEQ∽△CBA，故

CE

BC

=

QC

AC

，即

10?2t 2

8

=

t

10

，解得t=