Question

各项均为正数的数列{a n }前n项和为S n ，且4S n = a 2n +2a n +1，n∈N + ．（1）求数列{a n }

各项均为正数的数列{a n }前n项和为S n ，且4S n = a 2n +2a n +1，n∈N + ．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）已知公比为q（q∈N + ）的等比数列{b n }满足b 1 =a 1 ，且存在m∈N + 满足b m =a m ，b m+1 =a m+3 ，求数列{b n }的通项公式．

Answer 1

（1）∵4S n = a 2n +2a n +1，∴4S n+1 = a 2n+1 +2a n+1 +1， 两式相减郑游得：4a n+1 = a 2n+1 - a 2n +2a n+1 -2a n ，…（2分） 即（a n+1 +a n ）（a n+1 -a n -2）=0 ∵数列{a n }各项均为正数 ∴a n+1 -a n =2，…（4分） ∴数列{a n }为首项为1，公差为2的等差数列， 故a n =2n-1…（喊和销6分） （2）棚枝 b n = q n-1 ，依题意得 q m-1 =2m-1 q m =2m+5 ，相除得 q= 2m+5 2m-1 =1+ 6 2m-1 ∈N + ，…（8分） ∴2m-1=1或2m-1=3，代入上式得q=3或q=7，…（10分） ∴ b n = 7 n-1 或 b n = 3 n-1 ．…（12分）