Question

如图，边长为4的等边三角形AOB的顶点O在坐标原点，点A在x轴正半轴上，点B在第一象限．一动点P沿x轴以每

如图，边长为4的等边三角形AOB的顶点O在坐标原点，点A在x轴正半轴上，点B在第一象限．一动点P沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒．将线段BP的中点绕点P按顺时针方向旋转60°得点C，点C随点P的运动而运动，连接CP、CA，过点P作PD⊥OB于点D． （1）填空：PD的长为 （用含t的代数式表示）；（2）求点C的坐标（用含t的代数式表示）；（3）在点P从O向A运动的过程中，△PCA能否成为直角三角形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；（4）填空：在点P从O向A运动的过程中，点C运动路线的长为

Answer 1

（1）∵△AOB是等边三角形， ∴OB=OA=AB=4，∠BOA=∠OAB=∠ABO=60°． ∵PD⊥OB，∴∠PDO=90°，∴∠OPD=30°，∴OD= OP．∵OP=t，∴OD= t，在Rt△OPD中，由勾股定理，得PD=   （2）如图（1）过C作CE⊥OA于E，∴∠PEC=90°， ∵OD= t，∴BD=4- t． ∵线段BP的中点绕点P按顺时针方向旋转60°得点C， ∴∠BPC=60°．∵∠OPD=30°， ∴∠BPD+∠CPE=90°．∴∠DBP=∠CPE ∴△PCE∽△BPD ∴， ∴ ，， ∴CE= ，PE= ，OE= ，∴C（ ， ）． （3）如图（3）当∠PCA=90度时，作CF⊥PA，∴△PCF∽△ACF，∴ ，∴CF2=PF?AF， ∵PF= ，AF=4-OF=2-  CF= ， ∴（ ）2=（ ）（2- ）， 求得t=2，这时P是OA的中点． 如图（2）当∠CAP=90°时，C的横坐标就是4， ∴2+ =4∴t= （4）设C（x，y）， ∴x=2+ ，y= ，∴y= x- ， ∴C点的运动痕迹是一条线段．当t=0时，C1（2，0），当t=4时，C2（5， ），∴由两点间的距离公式得：C 1 C 2 =2 ．

此题考核相似三角形的判定和性质，旋转的性质