Question

已知a、b、c是△ABC的三边长，关于x的方程ax 2 -2 x-b="0" (a＞c＞b)的两根之差的平方等于4，△ABC的面

已知a、b、c是△ABC的三边长，关于x的方程ax 2 -2 x-b="0" (a＞c＞b)的两根之差的平方等于4，△ABC的面积S=10 ，c=7.（1）求角C；（2）求a，b的值.

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Answer 1

（1）C=60°（2）a=8,b=5.

（1）设x 1 、x 2 为方程ax 2 -2 x-b=0的两根， 则x 1 +x 2 = ，x 1 ·x 2 =- . ∴(x 1 -x 2 ) 2 =(x 1 +x 2 ) 2 -4x 1 x 2 = + =4. ∴a 2 +b 2 -c 2 =ab. 又cosC= = = , 又∵C∈(0°,180°),∴C=60°. (2)由S= absinC=10 ，∴ab="40.                               " ① 由余弦定理c 2 =a 2 +b 2 -2abcosC, 即c 2 =(a+b) 2 -2ab(1+cos60°). ∴7 2 =(a+b) 2 -2×40× . ∴a+b=13.又∵a＞b                                                ② ∴由①②，得a=8,b=5.