Question

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB，acosC=ccosA．（1）求B；（2）判断△ABC的

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB，acosC=ccosA．（1）求B；（2）判断△ABC的形状；（3）若b=2，求△ABC的面积．

Answer 1

（1）利用正弦定理化简a=bcosC+csinB，得：sinA=sinBcosC+sinCsinB，
由sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，
代入得：sinBcosC+cosBsinC=sinBcosC+sinCsinB，
整理得：cosBsinC=sinCsinB，
∵sinC≠0，
∴cosB=sinB，即tanB=1，
∴B=45°．
（2）利用正弦定理化简acosC=ccosA，
得：sinAcosC=sinCcosA，即sinAcosC-sinCcosA=sin（A-C）=0，
∴A-C=0，即A=C，
则△ABC为等腰三角形．
（3）∵A=C，∴a=c，
∵b=2，cosB=

2

2

，
∴由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB，即4=（2-

2

）a²，
∴a²=

4

2? 2

=4-2

2

，
则S_△ABC=

1

2

acsinB=

1

2

a²sin45°=

2

-1．