Question

已知数列{an}中，a1=2，a2=3，其前n项和Sn满足Sn+1+Sn-1=2Sn+1，其中n≥2，n∈N*．（1）求证：数列{an}为

已知数列{an}中，a1=2，a2=3，其前n项和Sn满足Sn+1+Sn-1=2Sn+1，其中n≥2，n∈N*．（1）求证：数列{an}为等差数列，并求其通项公式；（2）设bn＝an?2?n，Tn为数列{bn}的前n项和，求使Tn＞2的n的取值范围．（3）设cn＝4n+(?1)n?1λ?2an(λ为非零整数，n∈N*），试确定λ的值，使得对任意n∈N*，都有cn+1＞cn成立．

Answer 1

（1）证明：由已知，（S_n+1-S_n）-（S_n-S_n-1）=1（n≥2，n∈N^*），…（2分）
即a_n+1-a_n=1（n≥2，n∈N^*），且a₂-a₁=1．
∴数列{a_n}是以a₁=2为首项，公差为1的等差数列．
∴a_n=n+1．…（4分）
（2）解：∵a_n=n+1，∴bn＝(n+1)?

1

2n

∴Tn＝2× 1 2 +3× 1 22 +…+n? 1 2n?1 +(n+1)? 1 2n …(1)

∴

1 2 Tn＝2× 1 22 +3× 1 23 +…+n? 1 2n +(n+1)? 1 2n+1 …(2)

(1)?(2)：

1

2

Tn＝1+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

?(n+1)?

1

2n+1

∴T_n=3?

n+3

2n

…（6分）
代入不等式得：3?

n+3

2n

＞2，∴

n+3

2n

?1＜0
设f(n)＝

n+3

2n

?1，∴f(n+1)?f(n)＝?

n+2

2n+1

＜0
∴f（n）在N₊上单调递减，…（8分）
∵f(1)＝1＞0，f(2)＝

1

4

＞0，f(3)＝?

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