Question

已知函数f（x）=lnx+1x-1．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设m∈R，对任意的a∈（-1，1），总存在x

已知函数f（x）=lnx+1x-1．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设m∈R，对任意的a∈（-1，1），总存在x0∈[1，e]，使得不等式ma-f（x0）＜0成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）∵f′(x)＝

1

x

?

1

x2

＝

x?1

x2

，x＞0，
令f'（x）＞0，得x＞1，因此函数f（x）的单调递增区间是（1，+∞），
令f'（x）＜0，得0＜x＜1，因此函数f（x）的单调递减区间是（0，1）．
（Ⅱ）依题意，ma＜f（x）_max，由（Ⅰ）知，f（x）在x∈[1，e]上是增函数，
∴f(x)max＝f(e)＝lne+

1

e

?1＝

1

e

，
∴ma＜

1

e

，即ma?

1

e

＜0对于任意的a∈（-1，1）恒成立，
∴

m×1? 1 e ≤0 m×(?1)? 1 e ≤0.

，解得?

1

e

≤m≤

1

e

，
∴m的取值范围是[?

1

e

，

1

e

]．