Question

一道超难的微分题目

已知A、B、C都是圆上的点，AB=AC=a BC << a (BC远远小于a) BC=2b 设圆的直径为 d .求证 d ≈ a + (b^2)/(2*a)
我只能证明: d= (a^2) / { [ (a^2) -(b^2) ] ^ (1/2) }, 要证明d ≈ a + (b^2)/(2*a)我完全不知道该从何下手。laocai10000 的回答是不是对我，我也无法判断，因为我同样也看不懂他的解答。

Answer 1

A=O+ld/2,B=O+md/2,C=O+nd/2
(B-C)^2=(m-n)^2 (d/2)^2=(2-2m.n)(d/2)^2=(2b)^2<<a^2
(A-B)^2=(l-m)^2 (d/2)^2=(2-2l.m)(d/2)^2=a^2
(A-C)^2=(l-n)^2 (d/2)^2=(2-2l.n)(d/2)^2=a^2

m.n=1-8b^2/d^2
l.m=1-2a^2/d^2
l.n=1-2a^2/d^2
l^2=1
m^2=1
n^2=1

a>>b
m=-l+sk,n=-l-sk,s是小量
带入，得 l.k =s
带入上式，消去k和s，可以得到(d,a,b)之间关系式，利用a>>b化简，可以得到
d ≈ a + (b^2)/(2*a)

d= (a^2) / { [ (a^2) -(b^2) ] ^ (1/2) },
=a^2/{a(1-b^2/a^2)^(1/2)}
=a/(1-b^2/a^2)^(1/2)
==a/(1-b^2/a^2/2)
==a(1+b^2/a^2/2)
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