Question

如图，已知抛物线y=x²+bx+c经过点（1，-5）和（-2,4）

如图，已知抛物线y=x²+bx+c经过点（1，-5）和（-2,4）
（1）求这条抛物线的解析式
（2）设此抛物线与直线y=x相交于点A,B（点B在点A得右侧），平行与y轴的直线x=m
（0＜m＜根号5+1）与抛物线交于点M，与直线y=x交于点N,交x轴于点P，求线段MN的长（用含m的代数式表示）
（3）在条件（2）的情况下，连接OM、BM,是否存在m的值，使△BOM得面积S最大？若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由。

Answer 1

两个点带进抛物线：
-5=1+b+c
4=4-2b+c
得b=-2 c=-4
抛物线为y=x²-2x-4=（x-1）²-5
与x轴的交点为（根号5+1，0）（-根号5+1）
因为N点在y=x上，所以N的坐标（m，m）
M点在抛物线上，M的坐标为（m，m²-2m-4）
因为0<m<根号5+1，所以直线x=m在抛物线内部且m²-2m-4为负
MN=PM+PN=m-（m²-2m-4）=-m²+3m+4

Answer 2

由A点坐标求得k=2，b=-3，n=-2
则AOB为等腰三角形，若APO与AOB相似，只需OP=PA，设P=(x,y),则有
x^2+y^2=(x-2)^2+(y-1)^2，联立方程y=2x-3，得x=11/8 y=-1/4

Answer 3

1