Question

如图所示，在三角形ABC中，AB=AC，角BAC=120 度，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F，

求证：BF=4EF

Answer 1

解：连接AF，（1分）
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=$\frac{180°-120°}{2}$=30°，（1分）
∵AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F，
∴CF=AF（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∴∠FAC=∠C=30°（等边对等角），（2分）
∴∠BAF=∠BAC-∠FAC=120°-30°=90°，（1分）
在Rt△ABF中，∠B=30°，
∴BF=2AF（在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半），（1分）
∴BF=2CF（等量代换）．
∵直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半
∴CF＝2EF
∴BF=4EF

Answer 2

证明：连接AF，过A作AH⊥BC，交BC与H
∵三角形ABC中，AB=AC，角BAC=120 °
∴∠C=30°，∠CAH=60°
又∵EF是AC的垂直平分线
∴AF=CF=2EF，∠EAF=∠C=30°
∴∠FAH=120°/2- 30°=30°
∴AF=2FH=2EF
∴BH=CH=3EF
∴BF=BH+FH=4EF