Question

等腰三角形abc,底边bc上有点p,则p点到腰上距离之和等于定长,PD+PE=CF,若P点在BC的延长线上，求PD-PE=CF

要证明

Answer 1

P点在BC上：
过P点作PG⊥CF 交CF于G 则FG=PD PG∥AB ∠GPC=∠B
∵∠B=∠ACB ∴∠GPC=∠ACB △PGC与△CEP同为直角三角形且共斜边PC
∴△PGC≌△CEP CG=PE
∴PD+PE=FG+CG=CF

P点在BC延长线上：
过C点作CG ⊥PD 交PD于G 则GD=CF CG∥AB ∠PCG=∠B
∵∠B=∠ACB ∠ACB=∠PCE ∴∠PCG=∠PCE
而直角三角△PCG与直
∴PD－PE=PD－PG=GD 而GD=CF
PD－PE=CF

Answer 2

P点在BC上：
过P点作PG⊥CF 交CF于G 则FG=PD PG∥AB ∠GPC=∠B
∵∠B=∠ACB ∴∠GPC=∠ACB △PGC与△CEP同为直角三角形且共斜边PC
∴△PGC≌△CEP CG=PE
∴PD+PE=FG+CG=CF

P点在BC延长线上：
过C点作CG ⊥PD 交PD于G 则GD=CF CG∥AB ∠PCG=∠B
∵∠B=∠ACB ∠ACB=∠PCE ∴∠PCG=∠PCE
而直角三角形△PCG与直角三角形△PCE共斜边PC
∴△PCG≌△PCE PG=PE
∴PD－PE=PD－PG=GD 而GD=CF
∴PD－PE=CF