Question

这种微分方程的题怎么做?

图里最后两行是对应题的参考答案

为什么第5题的答案里没有常数C 而第6题有?
这种题到底是求什么啊.
这两题有什么区别?

Answer 1

5.两边求导
f'(x)=-2sin2x+f(x)sinx
即y'-(sinx)y=-2sin2x
可以解得通解为y=Ce^(-cosx)+4(cosx-1)
在原方程中，令x=0，那么f(0)=cos0=1
所以呢，这一题相当于求特解
将x=0，y=1代入
得1=Ce^(-1)，则C=e
所以特解为f(x)=e^(1-cosx)+4(cosx-1)

6.两边求导
f²(x)=2xf(x)+x²f'(x)
即y²=2xy+x²y'
(y/x)²=2(y/x)+dy/dx
令y/x=u
那么u²=2u+u+xdu/dx
du/(u²-3u)=dx/x
1/3ln[(u-3)/u]=lnx+C1
ln[(u-3)/u]=3lnx+C1
(u-3)/u=Cx³
那么y=3x/(1-Cx³) (-C是任意常数，和答案中的3C没多大区别)
因为这题里面有f(1)，所以是求通解
在原方程中令x=1，那么0=f(1)-f(1)，这是恒等的，所以和上一题不一样

追问

当x=1, 原方程恒成立 , 这表达什么意思?

追答

第一题中的积分下限是0
就在原方程中令x=0，那么∫f(t)sintdt就是0
不就可以解得f(0)=1了吗？
这就相当于是求特解

第二个中积分下限是1
就在原方程中令x=1，那么∫f²(t)dt=0
这样的话，这个式子就是0=f(1)-f(1)了，这样就无法解得f(1)
所以就是求通解

Answer 2

变限积分的求导，先求导，然后化为一般的微分方程，然后在进行求解!