Question

已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数． 当a，b∈[-1，1]，且a+b≠0时，有 f(a)+f(b) a+b ＞0

已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数． 当a，b∈[-1，1]，且a+b≠0时，有 f(a)+f(b) a+b ＞0 成立．（Ⅰ）判断函f（x）的单调性，并证明；（Ⅱ）若f（1）=1，且f（x）≤m 2 -2bm+1对所有x∈[-1，1]，b∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）f（x）在[-1，1]上为增函数 证明：设x 1 ，x 2 ∈[-1，1]，且x 1 ＜x 2 ，在 f(a)+f(b) a+b ＞0 中，令a=x 1 ，b=-x 2 ，有 f( x 1 )+f(- x 2 ) x 1 - x 2 ＞0， ∵x 1 ＜x 2 ，∴x 1 -x 2 ＜0，又∵f（x）是奇函数， ∴f（-x 2 ）=-f（x 2 ），∴ f( x 1 )-f( x 2 ) x 1 - x 2 ＞0 ∴f（x 1 ）-f（x 2 ）＜0，即f（x 1 ）＜f（x 2 ）． 故f（x）在[-1，1]上为增函数…（6分） （Ⅱ）∵f（1）=1  且f（x ）在[-1，1]上为增函数，对x∈[-1，1]，有f（x）≤f（1）=1． 由题意，对所有的x∈[-1，1]，b∈[-1，1]，有f（x）≤m 2 -2bm+1恒成立， 应有m 2 -2bm+1≥1?m 2 -2bm≥0．  记g（b）=-2mb+m 2 ，对所有的b∈[-1，1]，g（b）≥0成立． 只需g（b）在[-1，1]上的最小值不小于零…（8分） 若m＞0时，g（b）=-2mb+m 2 是减函数，故在[-1，1]上，b=1时有最小值， 且[g（b）] 最小值 =g（1）=-2m+m 2 ≥0?m≥2； 若m=0时，g（b）=0，这时[g（b）] 最小值 =0满足题设，故m=0适合题意； 若m＜0时，g（b）=-2mb+m 2 是增函数，故在[-1，1]上，b=-1时有最小值， 且[g（b）] 最小值 =g（-1）=2m+m 2 ≥0?m≤-2． 综上可知，符合条件的m的取值范围是：m∈（-∞，-2]∪{0}∪[2，+∞）．