Question

已知：如图，在梯形 ABCD 中， AD // BC ， AB ⊥ BC ，点 M 在边 BC 上，且∠ MDB =∠ ADB ， ．

已知：如图，在梯形 ABCD 中， AD // BC ， AB ⊥ BC ，点 M 在边 BC 上，且∠ MDB =∠ ADB ， ． （1）求证： BM = CM ；（2）作 BE ⊥ DM ，垂足为点 E ，并交 CD 于点 F ．求证： ．

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Answer 1

（1）证明线段相等，首选全等三角形，不行再选择证明等腰三角形，继而使用等量代换证明。 （2）通过证明相似形，找出相关比例，继而证明几何题中的代数关系。

试题分析： 证明：（1）∵  AB ⊥ BC ，∴ ∠ ABC = 90º． ∵  AD // BC ，∴ ∠ CBD =∠ ADB ，∠ BAD +∠ ABC = 180º． 即得 ∠ BAD = 90º． ∵  ，∴  ． 又∵ ∠ CBD =∠ ADB ， ∴ △ BCD ∽△ DBA ． ∴ ∠ BDC =∠ BAD = 90º． ∴ ∠ DBC +∠ C = 90º． ∵ ∠ MDB =∠ ADB ，∠ MBD =∠ ADB ， ∴ ∠ MBD =∠ MDB ．∴  BM = MD ． 又∵ ∠ BDM +∠ CDM =∠ BDC = 90º， ∴ ∠ C =∠ CDM ． ∴  CM = MD ．∴  BM = CM ． （2）∵  BE ⊥ DM ， ∴ ∠ DEF =∠ BDC = 90º． ∴ ∠ FDE +∠ DFE = 90º，∠ DBF +∠ DFE = 90º． ∴ ∠ FDE =∠ DBF ． 又∵ ∠ FDE =∠ C ， ∴ ∠ DBF =∠ C ． 于是，由 ∠ FDB =∠ BDC = 90º，∠ DBF =∠ C ， 得 △ FDB ∽△ BDC ． ∴  ．即  ． ∵  BM = CM ，∠ BDC = 90º，∴  BC = 2 DM ． 又∵  ， ∴  ． 点评：该题主要考查学生对相似三角形性质的掌握，同时学生要学会用逆向思维思考题目的解决方法，由边相等想到角相等、全等三角形，或者线段的相加减。