Question

如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线CM．（1）求证：∠ACM=∠ABC；（2）延长BC到D，使BC

如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线CM．（1）求证：∠ACM=∠ABC；（2）延长BC到D，使BC = CD，连接AD与CM交于点E，若⊙O的半径为3，ED = 2,求?ACE的外接圆的半径．

Answer 1

（1）证明见解析；（2） .

试题分析：（1）连接OC，根据圆周角定理、切线的性质和等腰三角形等边对等角的性质，应用角的转换即可证得结论. （2）由已知可得OC是△ABC的中位线，从而可得ΔAEC是直角三角形，即AEC的外接圆的直径为AC，通过证明ΔABC∽ΔCDE求得BC的长，在RtΔABC中应用勾股定理求出AC的长，从而得到?ACE的外接圆的半径． 试题解析：（1）如图，连接OC， ∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB =" 90°." ∴∠ABC＋∠BAC= 90°. 又∵CM是⊙O的切线，∴OC⊥CM. ∴∠ACM＋∠ACO=" 90°" . ∵CO = AO，∴∠BAC =∠ACO. ∴∠ACM =∠ABC. （2）∵BC = CD，BO = OA，∴OC∥AD. 又∵OC⊥CE. ∴AD⊥CE. ∴ΔAEC是直角三角形. ∴ΔAEC的外接圆的直径为AC. 又∵∠ABC＋∠BAC= 90°，∠ACM＋∠ECD = 90°，∠ABC =∠ACM，∴∠BAC =∠ECD. 又∵∠CED =∠ACB = 90°，∴ΔABC∽ΔCDE. ∴ . ∵⊙O的半径为3，ED = 2，∴AB = 6.∴ ，解得 . ∴在RtΔABC中， . ∴ ΔAEC的外接圆的半径为 .