Question

在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC的中点，DG⊥AC交AB于点G。 （1）如图1，E为线段DC

在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC的中点，DG⊥AC交AB于点G。 （1）如图1，E为线段DC上任意一点，点F在线段DG上，且DE=DF，连结EF与CF，过点F作FH⊥FC，交直线AB于点H。①求证：DG=DC；②判断FH与FC的数量关系并加以证明；（2）若E为线段DC的延长线上任意一点，点F在射线DG上，（1）中的其他条件不变，借助图2画出图形。在你所画图形中找出一对全等三角形，并判断你在（1）中得出的结论是否发生改变，（本小题直接写出结论，不必证明）。

Answer 1

解：（1）证明：①∵AC=BC，∠ACB=90°， ∴∠A=∠B=45°， 又GD⊥AC， ∴∠ADG=90°， 在△ADG中，∠A+∠ADG+∠AGD=180°， ∴∠AGD=45°， ∴∠A=∠AGD， ∴AD=DG， 又D是AC中点， ∴AD=DC， ∴DG=DC； ②由①DG=DC， 又∵DF=DE， ∴DF-DG=DC-DE即FG=CE， 由①∠AGD=45°， ∴∠HGF=180°-45°=135°， 又DE=DF，∠EDF=90°， ∴∠DEF=45°， ∴∠CEF=180°-45°=135°， ∴∠HGF=∠FEC， 又HF⊥CF， ∴∠HFC=90°， ∴∠GFH+∠DFC=180°-90°=90°， 又Rt△FDC中， ∠DFC+∠ECF=90°， ∴∠GFH=∠ECF， 在△FGH和△CEF中， ∴△FGH≌△CEF（ASA） ∴FH=FC； （2）图“略”； △FHG≌△CFE， 不变，FH=FC。