已知函数f（x）=x2-alnx（常数a＞0），g（x）=ex-x．（1）证明：ea＞a；（2）当a＞2e时，讨论函数f（x）
已知函数f（x）=x2-alnx（常数a＞0），g（x）=ex-x．（1）证明：ea＞a；（2）当a＞2e时，讨论函数f（x）在区间（1，ea）上零点的个数（e为自然对数...
已知函数f（x）=x2-alnx（常数a＞0），g（x）=ex-x．（1）证明：ea＞a；（2）当a＞2e时，讨论函数f（x）在区间（1，ea）上零点的个数（e为自然对数的底数）．
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（1）证明：得g′（x）=ex-1，令g′（x）=0得到x=0
当x＞0时，g′（x）=ex-1＞1-1=0，
∴g（x）在[0，+∞）上是增函数，
又a＞0，得g（a）＞g（0）=1＞0．
所以，ea-a＞0，即ea＞a．
（2）解：因为f′(x)=2x-
=
=
．
当0＜x＜
时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；
当x＞
时，f′（x）＞0，f（x）为增函数．
∴f(x)min=f(
)=
(1-ln
)．
又由（1）得
＜a＜ea＜e2a(a≥0，a＜2a)?
＜ea，
且当a＞2e时，
当x＞0时，g′（x）=ex-1＞1-1=0，
∴g（x）在[0，+∞）上是增函数，
又a＞0，得g（a）＞g（0）=1＞0．
所以，ea-a＞0，即ea＞a．
（2）解：因为f′(x)=2x-
| a |
| x |
| 2x2-a |
| x |
2(x-
| ||||||||
| x |
当0＜x＜
| ||
| 2 |
当x＞
| ||
| 2 |
∴f(x)min=f(
| ||
| 2 |
| a |
| 2 |
| a |
| 2 |
又由（1）得
| a |
| 2 |
| ||
| 2 |
且当a＞2e时，
|
