Question

如图，在正方形ABCD中，点P是AB的中点，连接DP，过点B作BE⊥DP交DP的延长线于点E，连接AE，过点A作AF⊥AE

如图，在正方形ABCD中，点P是AB的中点，连接DP，过点B作BE⊥DP交DP的延长线于点E，连接AE，过点A作AF⊥AE交DP于点F，连接BF．（1）若AE=2，求EF的长；（2）求证：PF=EP+EB．

Answer 1

（1）∵四边形ABCD是正方形，且BE⊥DP，AF⊥AE，
∴AB=AD，∠BAD=∠EAF=∠BEF=90°，
∴∠1+∠FAB=∠2+∠FAB=90°，
∴∠1=∠2．
∵∠3+∠5=∠4+∠6，且∠5=∠6，
∴∠3=∠4．
在△AEB和△AFD中，
∵

∠2＝∠1 AB＝AD ∠4＝∠3

，
∴△AEB≌△AFD，
∴AE=AF=2，
在Rt△EAF中，由勾股定理，得
EF=

22+22

=2

2

．
（2）过点A作AM⊥EF于M，且∠EAF=90°，AE=AF，
∴△EAF为等腰直角三角形．
∴AM=MF=EM．∠AME=∠BEF=90°．
∵点P是AB的中点，
∴AP=BP．
在△AMP和△BEP中，
∵

∠AME＝∠BEP ∠5＝∠6 AP＝BP

，
∴△AMP≌△BEP，
∴BE=AM，EP=MP，
∴MF=BE，
∴PF=PM+FM=EP+BE．