设函数f（x）在[0，1]上连续，且∫10f（x）=dx=0．试证至少存在一点ξ∈（0，1），使f（ξ）+f（1-ξ）=0
设函数f（x）在[0，1]上连续，且∫10f（x）=dx=0．试证至少存在一点ξ∈（0，1），使f（ξ）+f（1-ξ）=0．...
设函数f（x）在[0，1]上连续，且∫10f（x）=dx=0．试证至少存在一点ξ∈（0，1），使f（ξ）+f（1-ξ）=0．
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证明：令 F(x)＝
f(t)dt?
f(t)dt，则F（x）在[0，1]上连续，在（0，1）内可导．
因为F′（x）=f（x）+f（1-x），且F（0）=F（1）=0，
从而由罗尔中值定理知，至少存在一点ξ∈（0，1），使F′（ξ）=0，
即：f（ξ）+f（1-ξ）=0．
| ∫ | x 0 |
| ∫ | 1?x 0 |
因为F′（x）=f（x）+f（1-x），且F（0）=F（1）=0，
从而由罗尔中值定理知，至少存在一点ξ∈（0，1），使F′（ξ）=0，
即：f（ξ）+f（1-ξ）=0．
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