Question

已知函数y=y（x）满足微分方程x2+y2y′=1-y′，且y（2）=0，求y（x）的极大值和极小值

已知函数y=y（x）满足微分方程x2+y2y′=1-y′，且y（2）=0，求y（x）的极大值和极小值．

Answer 1

把方程化为标准形式得到(1+y2)

dy

dx

＝1?x2，这是一个可分离变量的一阶微分方程，两边分别积分可得方程通解为：

1

3

y3+y＝x?

1

3

x3+C，由y（2）=0得C＝

2

3

，
即

1

3

y3+y＝x?

1

3

x3+

2

3

．
令

dy

dx

＝

1?x2

1+y2

＝0，得x=±1，且可知

d2y

dx2

＝

?2x(1+y2)2?2y(1?x2)2

(1+y2)3

；
当x=1时，可解得y=1，y''=-1＜0，函数取得极大值y=1；
当x=-1时，可解得y=0，y''=2＞0，函数取得极小值y=0．