Question

双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，其右支上存在一点P，使得PF1与渐近线y=ba

双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，其右支上存在一点P，使得PF1与渐近线y=bax交于第一象限内的一点Q，且满足△F1QF2与△F1PF2的面积之比为23，则双曲线C的离心率e的取值范围为______．

Answer 1

作F₁H₁，PH₂⊥渐近线l：y＝

b

a

x分别于H₁，H₂，
则由三角形的面积公式可得，

S△F1QF2

S△F1PF2

=

QF1

PF1

=

QF1

PQ+QF1

=

2

3

，即有

PQ

QF1

=

1

2

，
由三角形F₁H₁Q∽三角形PH₂Q，得到

PQ

QF1

=

PH2

F1H1

=

1

2

，
由渐近线的含义发现随着P点向右运动，

PQ

QF1

＝

PH2

F1H1

在减小，且趋于0，
所以只要P在右顶点处时

PQ

QF1

＞

1

2

即可，
此时即

PQ

QF1

＝

a

c

＞

1

2

?1＜e＜2．
故答案为：（1，2）．