Question

已知函数f（x）=|2x-a|+|x-1|．（1）当a=3时，求不等式f（x）≥2的解集；（2）若?x∈R，f（x）≥|x-1|-x+

已知函数f（x）=|2x-a|+|x-1|．（1）当a=3时，求不等式f（x）≥2的解集；（2）若?x∈R，f（x）≥|x-1|-x+5，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）当a=3时，由不等式f（x）≥2得：|2x-3|+|x-1|≥2，
∴当x＜1时，3-2x+1-x≥2，解得x≤

2

3

；
当1≤x≤

3

2

时，3-2x+x-1≥2，解得x≤0，与1≤x≤

3

2

的交集为?；
当x≥

3

2

时，2x-3+x-1≥2，解得x≥2．
∴当a=3时，不等式f（x）≥2的解集为{x|x≤

2

3

或x≥2}；
（2）∵f（x）=|2x-a|+|x-1|≥|x-1|-x+5，
∴|2x-a|≥5-x．
当x＞5时，5-x＜0，原不等式恒成立，∴a∈R；
当x≤5时，x-5≤a-2x≤5-x，即3x-5≤a≤x+5，
∵x+5≤10，
∴a≤10，又?x∈R，f（x）≥|x-1|-x+5，
∴实数a的取值范围为（-∞，10]．