Question

已知直线l1经过点A（-3，0），B（3，2），直线l2经过点B，且l1⊥l2．（1）求经过点B且在两坐标轴上的截距

已知直线l1经过点A（-3，0），B（3，2），直线l2经过点B，且l1⊥l2．（1）求经过点B且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程；（2）设直线l2与直线y=8x的交点为C，求△ABC外接圆的方程．

Answer 1

（1）设经过点B且在两坐标轴上的截距相等的直线为m，
①当直线m经过原点时，在两坐标轴上的截距都为零，符合题意．
此时，直线m的方程为y=

2

3

x；
②当直线m不经过原点时，设方程为

x

a

+

y

a

＝1，
将点B（3，2）代入，得

3

a

+

2

a

＝1，解之得a=5，
此时直线m的方程为

x

5

+

y

5

＝1，化简得x+y-5=0．
综上所述，直线m方程为y=

2

3

x或x+y-5=0，即为所求直线的方程．
（2）∵直线l₁经过点A（-3，0），B（3，2），
∴直线l₁的斜率k₁=

2?0

3?(?3)

=

1

3

，
∵l₁⊥l₂，∴直线l₂的斜率k₂=

?1

k1

=-3．
又∵直线l₂经过点B（3，2），
∴直线l₂的方程为y-2=-3（x-3），即y=-3x+11，
由

y＝8x y＝?3x+11

联解，得

x＝1 y＝8

，可得直线l₂与直线y=8x的交点为C（1，8）．
设经过A、B、C三点的圆方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，
可得

9?3D+F＝0 9+4+3D+2E+F＝0 1+64+D+8E+F＝0

，解之得

D＝2 E＝?8 F＝?3

，
∴经过A、B、C三点的圆方程为x²+y²+2x-8y-3=0，即为△ABC外接圆的方程．