Question

归纳 推理　证明（1）填空：如图1，过△ABC的顶点A有一直线EF，且EF∥BC，求证：∠BAC+∠B+∠C=180°；

归纳 推理　证明（1）填空：如图1，过△ABC的顶点A有一直线EF，且EF∥BC，求证：∠BAC+∠B+∠C=180°；证明：∵EF∥BC　　　（已知）∴∠BAE=∠B，∠CAF=∠C；（______）又∵∠BAE+∠BAC+∠CAF=180°（平角定义）∴∠BAC+∠B+∠C=180°（______）本题所证明的命题可用一句话概括为______．（2）在（1）基础上请证明：如图2，△ABC中，∠A=50°，点P是∠ABC与∠ACB平分线的交点，求∠BPC的度数；（每一步无需写理由和依据）（3）如图3，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY、XZ分别经过点B、C．若∠A=β°，则∠XBC+∠XCB=______，∠ABX+∠ACX=______．（直接填写结果）

Answer 1

解答：（1）证明：∵EF∥BC（已知），
∴∠BAE=∠B，∠CAF=∠C；（两直线平行，内错角相等）
又∵∠BAE+∠BAC+∠CAF=180°（平角定义）
∴∠BAC+∠B+∠C=180°（等量代换）
本题所证明的命题可用一句话概括为：三角形内角和为180°；
故答案为：两直线平行，内错角相等；等量代换；三角形内角和为180°；

（2）解：∵∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=130°，
∴∠PBC+∠PCB=

1

2

（∠ABC+∠ACB）=

1

2

×130°=65°，
∴∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-65°=115°；

（3）解：在Rt△BCX中，∠XBC+∠XCB=180°-90°=90°；
在△ABC中，∠ABX+∠ACX=180°-∠A-（∠XBC+∠XCB）=180°-β°-90°=90°-β°．
故答案为：90°，90°-β°．