Question

设总体X服从正态分布N～（μ，σ2），其中参数μ已知，σ未知，X1，X2，…，X2n是来自总体X的容量为2n的

设总体X服从正态分布N～（μ，σ2），其中参数μ已知，σ未知，X1，X2，…，X2n是来自总体X的容量为2n的简单随机样本，试问σ=12nπ22ni＝1|Xi-μ|是σ的无偏估计量吗？





Answer 1

令Y=X-μ，则Y～（0，σ²），其概率密度为f(y)＝

1

2π σ

e?

y2

2σ2

，-∞＜y＜+∞，
σ＞0|Y|=|X-μ|的数学期望为：
E(|Y|)＝E(|X?μ|)＝

∫

+∞ ?∞

|y|

1

2π σ

e?

y2

2σ2

dy＝2

∫

+∞ 0

|y|

1

2π σ

e?

y2

2σ2

dy＝

2 π

σ
于是：
E(

σ

)＝E[

1

2n

π 2

2n

i＝1

|Xi?μ|]＝

1

2n

π 2

E(

2n

i＝1

|Xi?μ|)＝

2n

2n

π 2

2 π

σ＝σ
所以

σ

是σ的无偏估计量．