Question

一道有关 无界区域上二元函数的最值的 证明问题：

D为无界区域，f在D的边界点上的值为C，f在D和边界点上都是连续的，f在D内部有连续偏导数，且f在D内函数值都大于C，证明f在D内达到最大值。

Answer 1

问题似乎不对, 例如
f(x,y)=√(x^2+y^2-1)
在定义域{(x,y)|x^2+y^2>=1}的边界x^2+y^2=1上f(x,y)=0
但是显然函数f(x,y)没有最大值.

追问

可能问题问的不是很严密，如果拿下面这个例子来看的话，怎么证呢？
证明：0<x<1,0<y<正无穷，有f(x,y)=y*x^y*(1-x)<e-1

在D内若找到其极值点P 怎样证明这个极值点就是最大值点
麻烦了！

追答

我明白你的意思了.
如果函数在D内只有一个极值点, 在题设条件下, 那它一定是最大值点. 我们可以用反证法证明这个事实.

追问

能就这道题来说一下证明过程么？谢谢

追答

问题有点困难，我需要想想！

追问

恩，谢谢你O(∩_∩)O

追答

我刚才说的
“如果函数在D内只有一个极值点, 在题设条件下, 那它一定是最大值点. ”
对于二元函数的情形, 这个结论没有普遍性, 但是我们对一些特殊的例子可以验证这一点的.
不过你的这个例子我没看明白, 请加上括号方便我理解, 另外这里极值点是哪个?

追问

就是证明：0<x<1,0<y<正无穷(记作D)时，有f(x,y)=y*(x^y)*(1-x)<1/e
证明时
由于f在D内的极值点可以求出来（可以用方程组表示），且在这个极值点的值<1/e 所以只要证明这个极值点是最大值点 题目就证明完成了

所以我就想问一下怎样证明这个极值点是最大值点？

追答

这个问题比想象中的要复杂得多。若要处理这种问题，必须证明在边界附近函数值小于这个极大值（例如函数值无限接近0）然后就可以考虑用一个矩形包含极大值，进而证明它是最大值