Question

高中数学求“取值范围”的做法是否有欠缺？

已知1<=a+b<=5,-1<=a-b<3,求3a-2b的取值范围
证：
1/2<=(1/2)(a+b)<=5/2
-5/2<=(-5/2)(a-b)<15/2
-2<=(1/2)(a+b) + (5/2)(a-b)<10
即-2<=3a-2b<10

请教下，从高中数学做法中产生的一个疑问;以上题为例来说明困惑;
题目要求的是求“取值范围”,我们利用不等式的性质来做的,不等式的性质只是用来求比大小的,严格来说并没有能算“取值范围”的作用;(“取值范围”即这个范围里的每个数都可以取到)?
利用不等式的性质,得到的这个比大小的范围,我们从来不会去做严格的验证是否是“取值范围”,就认为此题做完了,这样做严谨吗?
（PS答案我知道是对的,但作法是否严谨呢?）
请指教，谢谢
大家没理解我的问题的内容；做法看得懂；
问题是“不等式的性质,得到的比大小的范围，相当于一个排序”，“不等式的性质并没有说是取值范围；取值范围还要加上极限，连续这样的验证之后才能确定的；”

Answer 1

我认为，在高中数学中，利用不等式来求取“取值范围”的做法是严谨的
不等式的运算及其性质的法理依据就是实数轴，数轴上所有的点对应实数，即实数范围内的每个数，在数轴上都是有一个点与之对应，这种对应关系是一一对应，数轴上右边的一个点对应的实数比它左边的任何一个点所对应的实数都是大，反之，数轴上左边的一个点对应的实数比它右边的任何一个点所对应的实数都是小，这就是不等式的法理依据。
在数轴上任何二点距离不等于零的二点间依然存在无数的个点，这些点作为一个整体，我们把它称为集合也好，区间或范围也罢，是说这个整体中任何一个点所对应的数比它右边那个点对应的数小，比它左边那个点对应的数大。所以，我们求取这样一个整体，当然要应用不等式来解决。
试想一下，将这个整体（范围）看成是一个数来理解，不好理解了吗？

Answer 2

首先来说，一个很正常的东西，如果专研，常常会很复杂。你的这个问题，是已经被大家当作常识了的，在这之前，肯定也有过一些证明的，你可以去思考，但是不要把它当成一个问题而找问题。
再看题目，我们看它的约束条件，它的约束本身是一个不等式，而你的结果推导也是按照这个不等式约束而来的，验证是为了确保答案，也就是说排错和严谨性。所以反向的思考，你如果发现验证出错，只能说对这2个不等式的挖掘和理解不对，导致解题出错。
还有就是你说的不等式是比大小，不是取值，但是你不要只看这个，你这样想，假设我们有X，他的取值是1到2之间的任何一个实数；我们现在说，X是一个比1大，比2小的实数，这也完全是对的。
至于性质，这更加了，比方我们说“一个苹果”他代表我们吃的那个苹果，但实际上“一个苹果”只是几个中文字，所以在某些作为人的共识下，其实是默认的，1<X<2，只是一个范围，而不是一个数，你即使要验证，也是块验证，而不是单独的分开。
不知道我的这种理解能不能让你接受，但是希望对你有帮助，呵呵。

Answer 3

这题严谨的做法应该用待定系数法
设 k(a+b)+b(a-b)=3a-2b
解得 k=1/2 ,b=5/2
所以有1/2<=(1/2)(a+b)<=5/2
-5/2<=(5/2)(a-b)<15/2
-2<=(1/2)(a+b) + (5/2)(a-b)<10
即 -2<=3a-2b<10
我们高中这种题目做的还是很多的。。所以看到就熟悉的

Answer 4

这样不严谨，没检验能否取到。因为此处a,b是相互制约的。把a,b当作x,y做出可行域，你可知道这种制约关系会使不等式取不到。使范围扩大。

Answer 5

类似与 1 ≤a≤3， 2≤b＜4，求a+b的取值范围?
既3≤a+b﹤7
1 ≤a≤3， 2≤b＜4，的意思就是在他们之间取得，不等式的在另一方面来说就是取值范围。
作法是否严谨可以举例来说的他们的最大值和最小值。。。