Question

如图，已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC（或其延长线）的距离分别为h1、h2、h3，△ABC的高

如图，已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC（或其延长线）的距离分别为h1、h2、h3，△ABC的高为h．
在图（1）中， 点P是边BC的中点，此时h3=0，可得结论： ．
在图（2）--（5）中，点P分别在线段MC上、MC延长线上、△ABC内、△ABC外．
（1）请探究：图（2）--（5）中， h1、h2、h3、h之间的关系；（直接写出结论）
（2）证明图（2）所得结论；
（3）证明图（4）所得结论．
（4） （附加题2分）在图（6）中，若四边形RBCS是等腰梯形，∠B=∠C=60o， RS=n，BC=m，点P在梯形内，且点P到四边BR、RS、SC、CB的距离分别是h1、h2、h3、h4，桥形的高为h，则h1、h2、h3、h4、h之间的关系为： ；图（4）与图（6）中的等式有何关系？

Answer 1

分析：（1）图②-⑤中的关系依次是：h1+h2+h3=h；h1-h2+h3=h；h1+h2+h3=h；h1+h2-h3=h；
（2）由图（2）有S△ABP+S△ACP=S△ABC根据等边三角形的性质，及面积公式得出结论；
（3）由图（4）有S△ABP+S△BCP+S△ACP=S△ABC，根据等边三角形的性质，及面积公式得出结论；
（4）延长BR、CS交于A，由（3）有h1+h3+h4= mhm-n．

解答：
解：（1）图②-⑤中的关系依次是：
h1+h2+h3=h；h1-h2+h3=h；h1+h2+h3=h；h1+h2-h3=h；
（2）图②中，h1+h2+h3=h．
证法一：
∵h1=BPsin60o，h2=PCsin60o，h3=0，
∴h1+h2+h3=BPsin60o+PCsin60o
=BCsin60o
=ACsin60o
=h．
证法二：连接AP，则S△APB+S△APC=S△ABC．
∴ 12AB×h1+12AC×h2=12BC×h．
又h3=0，AB=AC=BC，
∴h1+h2+h3═h；

证明：（3）图④中，h1+h2+h3=h．
过点P作RS∥BC与边AB、AC相交于R、S．
在△ARS中，由图②中结论知：h1+h2+0=h-h3．
∴h1+h2+h3=h．
说明：（2）与（3）问，通过作辅助线，利用证全等三角形的方法类似给分；

（4）由（3）可知：h1+h3+h4= mhm-n．
让R、S延BR、CS延长线向上平移，当n=0时，图⑥变为图④，上面的等式就是图④中的等式，所以上面结论是图④中结论的推广．

Answer 2

[oe A}{ ]oer]popdo
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ee]reo dp[o

e o eow

ew]r
w
ed]
twt

Answer 3

看不见图啊